თავისუფალი რხევა აღიძვრება, სისტემის წონასწორობის მდგომარეობიდან გამოყვანის შემდეგ, სისტემის შინაგანი ძალების მოქმედებით.
თავისუფალი რხევა რომ ჰარმონიული კანონით მიმდინარეობდეს, საჭიროა, ძალა, რომელიც სხეულის წონასწორულ მდგომარეობაში დაბრუნებას ცდილობს სხეულის წონასწორობიდან წანაცვლების პროპორციული იყოს და საწიმააღმდეგოდ იყოს მიმართული.
\(F(t)=ma(t)=-m\omega^{2}x(t)\).
ამ გამოსახულებაში \(\omega\) – ჰარმონიული რხევის წრიული სიხშირეა. დრეკადობის ძალა ჰუკის კანონის გამოყენების ფარგლებში ტოლია:
\(F_{drek}=-kx\).
სხვა ნებისმიერი ფიზიკური ბუნების მქონე ძალას, რომელიც იგივე პირობას აკმაყოფილებს კვაზიდრეკადს უწოდებენ.
ამგვარად, \(k\) სიხისტის მქონე ზამბარა, რომლის ერთი ბოლო უძრავადაა დამაგრებული, მეორეზე კი \(m\) მასის ტვირთია მიმაგრებული, ქმნის სისტემას, რომელსაც ხახუნის არ არსებობის შემთხვევაში შეუძლია ჰარმონიული რხევის შესრულება. ზამბარაზე მიმაგრებულ ტვირთს წრფივ ჰარმონიულ ოსცილატორს უწოდებენ.
ნახ. 1.
ზამბარაზე მიმაგრებული ტვირთის რხევა. ხახუნი არ გვაქვს.
ტვირთის თავისუფალი რხევის წრიული სიხშირე ω0 ნიუტონის მეორე კანონის საშუალებით გამოითვლება:
\(ma=-kx=m\omega_{0}^{2}x,\)
საიდანაც
\(\omega_{0}=\sqrt{\frac{k}{m}}.\)
ω0 სიხშირეს მერხევი სისტემის თავისუფალ სიხშირეს უწოდებენ.
ტვირთის ჰარმონიული რხევის პერიოდი \(T\) ტოლია
\(T=\frac{2\pi}{\omega_{0}}=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}.\)
როცა სისტემა ზამბარა–ტვირთი ჰორიზონტულადაა განლაგებული ტვირთზე მოდებული სიმძიმის ძალა საყრდენის რეაქციის ძალითაა გაწონასწორებული.
თუ ტვირთი ზამბარაზეა ჩამოკიდებული, მაშინ სიმძიმის ძალის მიმართულება ტვირთის მოძრაობის მიმართულებას ემთხვევა. წონასწორობის მდგომარეობაში ზამბარა \(x_{0}\) სიდიდითაა გაჭიმული, რომელიც ტოლია
\(x_{0}=\frac{mg}{k},\)
და რხევა წონასწორობის ამ ახალი მდებარეობის მახლობლად სრულდება. ω0 თავისუფალი სიხშირისა და რხევის T პერიოდის ზევით მოყვანილი გამოსახულებები ამ შემთხვევაშიც სამართლიანია.
მერხევი სისტემის ქცევის მკაცრი აღწერა შეიძლება მოვივანოტ, თუ გავითვალისწინებთ მათემატიკურ კავშირს სხეულის აჩქარებასა და მის კოორდინატას შორის: აჩქარება სხეულის \(x\) კოორდინატის \(t\) დროით მეორე წარმოებულის ტოლია:
\(a(t)={x}''(t).\)
ამიტომაც. ზამბარაზე ჩამოკიდებული ტვირთისთვის ნიუტონის მეორე კანონი ასე შეიძლება ჩაიწეროს:
\(ma=m{x}''=-kx,\)
ან
\({x}''+\omega_{0}^{2}x=0,\) (*)
სადაც \(\omega_{0}^{2}=\frac{k}{m}.\)
ყველა ფიზიკურ სისტემას (არა მხოლოდ მექანიკურ), რომელიც (*) განტოლებით აღიწერება, თავისუფალი ჰარმონიული რხევის შესრულება შეუძლია, რადგანაც ამ განტოლების ამონახსნი \(x=x_{m}\cos (\omega t+\phi_{0})\) სახის ჰარმონიულ ფუნქციას წარმოადგენს.
(*) განტოლებას თავისუფალი რხევის განტოლებას უწოდებენ. ყურადღება უნდა მიექცეს იმას, რომ მერხევი სისტემის ფიზიკური თვისებები განსაზღვრავენ რხევის საკუთარ სიხშირს \(\omega_{0}\) ან \(T\) პერიოდს. რხევითი პროცესის ისეთი პარამეტრები, როგორიცაა \(x_{m}\) ამპლიტუდა და საწყისი ფაზა φ0 განისაზღვრება იქიდან გამომდინარე თუ დროის საწყის მომენტში სისტემა რა ხერხით იქნა გამოყვანილი წონასწორობის მდგომარეობიდან.
თუ, მაგალითად, ტვირთი წონასწორობის მდგომარეობიდან Δl მანძილზე იქნა გადანაცვლებული და \(t=0\) საწყის მომენტში საწყისი სიჩქარის გარეშე გათავისუფლებული, მაშინ \(x_{m}=\Delta l\), \(\phi_{0}=0\).
თუ ტვირთს წონასწორობის მდგომარეობაში უეცარი ბიძგით მიანიჭეს საწყისი სიჩქარე \(\pm v_{0}\), მაშინ \(x_{m}=\sqrt{\frac{m}{k}}v_{0}\), \(\phi_{0}=\pm \frac{\pi}{2}.\)
ამგვარად. თავისუფალი რხევის \(x_{m}\) ამპლიტუდა და საწყისი ფაზა \(\phi_{0}\) საწყისი პირობებიდან გამომდინარე განისაწღვრება.
არსებობს მექანიკური რხევითი სისტემების დიდ ნაირსახეობა, რომლებშიც დრეკადი დეფორმაციის ძალებია გამოყენებული. ნახ. 2–ზე ნაჩვენებია წრფივი ჰარმონიული ოსცილატორის კუთხური ანალოგი, რომელიც ბრუნვით რხევებს ასრულებს. ჰორიზონტულად განლაგებული დისკი მასათა ცენტრზე მიმაგრებულ უჭიმვად ძაფზე ჰკიდია. \(\theta\) კუთხით დისკის მობრუნებისას აღიძვრება გრეხვის დეფორმაციის ძალის მომენტი \(M_{drek}\):
\(M_{drek}=-\chi \theta\).
ეს თანაფარდობა გრეხვის დეფორმაციისთვის ჰუკის კანონს გამოსახავს. სიდიდე \(\chi\) ზამბარის \(k\) სიხისტის ანალოგიურია. ნიუტონის მეორე კანონი დისკის ბრუნვითი მოძრაობისთვის ჩაიწერება შემდეგი სახით(პარაგრაფი 1.23)
\(I\varepsilon=M_{drek}=-\chi \theta\) ან \(I{\theta} ''=-\chi \theta ,\)
სადაც \(I=I_{C}\) – დისკის ინერციის მომენტია მასათა ცენტრზე გამავალი ღერძის მიმართ, \(\varepsilon\) – კუთხური აჩქარება.
ზამბარაზე ტვირთის ანალოგიურად შეიძლება მივიღოთ:
\(\omega_{0}=\sqrt{\frac{x}{I}},\: \: T=2\pi\sqrt{\frac{I}{x}}.\)
მბრუნავი ქანქარა ფართოდ გამოიყენება მექანიკურ საათებში. მასში დრეკადი ძალების მომენტი სპირალური ზამბარის საშუალებით მიიღწევა.
ნახ. 2.
მბრუნავი ქანქარა