თუ მყარ, თხევად ან აიროვანი გარემოს რაღაც წერტილში აღიძვრება ნაწილაკების რხევა, მაშინ გარემოს ატომებისა და მოლეკულების ურთიერთქმედების შედეგად რხევებეს გადაცემა დაიწყება ერთი წერტილიდან მეორეზე სასრული სიჩქარით. რხევების გავრცელების პროცესს ტალღები ეწოდება.
არსებობს სხვადასხვა სახის მექანიკური ტალღები.
თუ გარემოს ნაწილაკები განიცდიან ტალღის გავრცელების მართობული მიმართულებით გადაადგილებას, მაშინ ტალღას განივს უწოდებენ. ამგვარი ტალღების მაგალითად გამოდგება ტალღები, რომლებიც გაჭიმულ რეზინაზე ან სიმზე მოძრაობს (გარბის) (ნახ. 1).
თუ გარემოს ნაწილაკების გადანაცვლება ხდება ტალღის გავრცელების მიმართულებით, მაშინ ტალღას გრძივს უწოდებენ. ტალღები დრეკად ღეროში ან ბგერითი ტალღები აირში ასეთი ტალღების მაგალითს წარმოადგენენ.
როგორც განივ, ასევე გრძივ ტალღებში ნივთიერების გადატანა არ ხდება. გავრცელების პროცესში გარემოს ნაწილაკები მხოლოდ რხევას ასრულებენ წონასწორობის მდებარეობის მახლობლად. მიუხედავად ამისა, ტალღებს რხევის ენერგია გადააქვს ერთი წერტილიდან მეორეში.
ნახ. 1.
გაჭიმულ რეზინის ზონარზე განივი ტალღური იმპულსის გავრცელება.
ნახ. 2.
დრეკად ღეროში გრძივი ტალღური იმპულსის გავრცელება.
მექანიკური ტალღების დამახასიათებელ თავისებურებას წარმოადგენს, ის რომ ისინი მატერიალურ გარენოში ვრცელდებიან (მყარ, სითხესა და აირებში). არსებობენ ტალღები, რომლებსაც სიცარიელეში გავრცელება შეუძლია (მაგალითად სინათლის ტალღები). მექანიკური ტალღებისათვის აუცილებელია გარემო, რომელსაც შეუძლია კინეტიკური და პოტენციური ენერგიის მარაგის შექმნა. ე.ი., გარემოს უნდა ჰქონდეს ინერტულობა და დრეკადი თვისებები. მაგალითად, მყარი სხეულის ნებისმიერ მცირე ელემენტს აქვს მასა და დრეკადობა. უმარტივეს მოდელში მყარი სხეული შეიძლება წარმოვიდგინოთ როგორც პატარა ბურთულებისა და ზამბარების ერთობლიობა (ნახ. 3).
ნახ. 3.
მყარი სხეულის უმარტივესი ერთგანზომილებიანი მოდელი
ამ მოდელში ინერტული და დრეკადი თვისებებიბი განცალკევებულია. ბურთულებს \(m\) მასა აქვთ, ზამბარებს – \(k\) დრეკადობა. ამ უბრალო მოდელის საშუალებით შეიძლება აღიწეროს განივი და გრძივი ტალღების გავრცელება მყარ სხეულში. განივ ტალღებში ბურთულები განიცდიამ ჯაჭვის გასწვრივ გადაადგილებას, ზამბარები კი იჭიმბიან ან იკუმშებიან. ასეთ დეფორმაციას გაჭიმვის ან შეკუმშვის დეფორმავია ეწოდება. სითხეებსა და გაზებში ასეთ დეფორმაციას თან ახლავს შემკვრივება ან გაიშვიათება.
განივ მექანიკურ ტალღებს გავრცელაბა შეუძლიათ ნებისმიერ, მყარ, თხევად და აირად გარემოში. თუ მყარი სხეულის ერთგანზომილებიან მოდელში ერთ ან რამდენიმე ბურთულას წავანაცვლებთ ჯაჭვის მართობული მიმართულებით, ნაშინ წაროიშვემა წანაცვლების დეფორმაცია, ასეთი წანაცვლებისას დეფორმირებული ზამბარა ცდილობს წანაცვლებული ნაწილები დააბრუნოს წონასწორობაში. ამასთან, უახლოეს წანაცვლებულ ნაწილებზე მოქმედებენ დრეკადობის ძალები, რომლებიც შეეცდებიან მათ გადახრას წონასწორობიდან. ამის შედეგად ჯაჭვის გასწვრივ გაირბენს განივი ტალღა. სითხეებსა და გაზებში წანაცვლების დეფორმაცია არ აღიძვრება.
თუ სითხის ან გაზის ფენას წავანაცვლებთ სხვა ფენების მიმართ, ფენებს შირის საზღვარზე არავითარი შეხების ძალები არ აღიძვრება. ძალები, რომლებიც მოქმედებენ სითხისა და მყარი სხეულის საზღვარზე, და ასევე სითხის ფენებს შორის ყოველთვის ამ საზღვრის მიმართ მართობულადაა მიმართული. ეს წნევის ძალაა. ასევეე გაზებშიც. აქედან გამომდინარე, განივი ტალღები ვერ აღიძვრება თხევად და აირად გარემოში.
დიდი პრაქტიკული ინტერესი დაკავშირებულია უბრალო ჰარმონიული ანუ სინუსოიდური ტალღების გავრცელაებასთან. ისინი ხასიათდებიან ნაწილაკის რხევის \(A\) ამპლიტუდით, სიხშირით -\(f\) და ტალღის სიგრძით -\(\lambda\) . სინუსოიდური ტალღები ერთგავაროვან გარემოში ვრცელდებიან გარკვეული \(v\) სიჩქარით. გარემოს ნაწილაკების წონასწორობის მდებარეობიდან წანაცვლება \(y(x,t)\) დამოკიდებულია \(OX\) ღერძზე \(x\) კოორდინატზე, რომლის გასწვრივაც ვრცელდება ტალღა და \(t\) დროზე, კანონით:
\(y(x,t)=A\cos \omega\left (t-\frac{x}{v} \right )=A\cos(\omega t-kx),\)
სადაც \(k=\frac{\omega}{v}\) – ე.წ. ტალღური რიცხვია, \(\omega=2\pi f\) – წრიული სიხშირე. ნახ. 4–ზე მოცემულია განივი ტალღის ორი დროითი მომენტის \(t\) stststt" style="margin: 0px; padding: 0px; width: 6px; height: 12px;" /> და \(t+\Delta t\) "მომენტალური ფოტოგრაფია“. \(\Delta t\) დროის განმავლობაში ტალღამ \(OX\) ღერძის გასწვრივ გადაინაცვლა \(\Delta x\) მანძილძე. თუ ტალღის ყველა წერტილი ერთიდაიგივე სიჩქარით გადაადგილდება მას მორბენალ ტალღას უწოდებენ (მდგარი ტალღისგან განსხვავებით).
ნახ. 4. მორბენალი სინუსოიდური ტალღის „მომენტალური ფოტოგრაფია“ დროის \(t\) და \(t+\Delta t\) მომენტებში.
ტალღის სიგრძე \(\lambda\) ეწოდება \(OX\) ღერძზე ორ, ერთნაერ ფაზაში მერხევ, მეზობელ წერტილს შორის მანძილს . λ ტალღის სიგრძის ტოლ მანძილს ტალღა გაირბენს \(T\) ის განმავლობაში, ე.ი. \(\lambda=vT\) , სადაც \(v\) –ტალღის გავრცელების სიჩქარეა. გრაფიკზე , ნებისმიერი შერჩეული წერტილისათვის ტალღური პროცესისთვის \(t\) დროის ცვლილებისას \(x\) კოორდინატაც იცვლება ხოლო გამოსახულება \(\omega t-kx\) უცვლელი რჩება. \(\Delta t\) დროის შემდეგ \(A\) წერტოლი გადაადგილდება \(OX\) ღერძის გასწვრივ რაღაც \(\Delta x=v\Delta t\) მანძილზე. მაშასადამე:
\(\omega t-kx=\omega(t-\Delta t)-k(x+\Delta x)=const\) ან \(\omega \Delta t=k\Delta x\) .
აქედან გამოდის:
\(v=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{\omega}{k}\) ან \(k=\frac{2\pi}{\lambda}=\frac{\omega}{v}.\)
ამრიგად, მორბენალ სინუსოიდურ ტალღას ორმაგი პერიოდი აქვს - დროითი და სივრცული. დროითი პერიოდი გარემოს \(T\) ნაწილაკების რხევის პერიოდის ტოლია, სივრცული პერიოდი კი ტალღის \(\lambda\) სიგრძის. ტალღური რიცხვი \(k=\frac{2\pi}{\lambda}\) წრიული სიხშირის \(\omega =\frac{2\pi}{T}\) სივრცულ ანალოგს წარმოადგენს.
ყურადღება მივაქციოთ იმას, რომ განტოლება
\(y(x,t)=A\cos(\omega t+kx)\)
აღწერს იმ სინუსოიდურ ტალღებს, რომლებიც \(OX\) ღერძის საწინააღმდეგო მიმართულებით ვრცელდება \(v=-\frac{\omega}{k}\) სიჩქარით.
მორბენალ სინუსოიდურ ტალღაში გარემოს ყოველი ნაწილაკი ასრულებს ჰარმონიულ რხევას რაღაც \(\omega\) სიჩქარით. ამიტომ , ჩვეულებრივი რხევითი პროცესის მსგავსად, გარემოს რაღაც მოცულობის საშუალო პოტენციური ენერგიის მარაგი ტოლია იგივე მოცულობის საშუალო კინეტიკური ენერგიისა და პროპორციულია რხევის ამპლიტუდის კვადრატისა.
აქედან გამომდინარეობს, რომ მორბენალი ტალღის გავრცელაებისას წარმოიქმნება ენერგიის მარაგი, რომელიც პროპორციულია ტალღის სიჩქარისა და ამპლიტუდის კვადრატისა.
მორბენალი ტალღების გარემოში გავრცელების სიჩქარე ტალღის ტიპსა და გარემოს ინერტულ და დრეკად თვისებებზეა დამოკიდებული.
გრძივი ტალღების სიჩქარე გაჭიმულ სიმში ან რეზინის ზონარში დამოკიდებულია სიგრძის ერთულის \(\mu\) მასასა და \(T\) დაჭიმულიბის ძალაზე:
\(v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}.\)
უსასრულო გარემოში განივი ტალღის გავრცელაების სიჩქარე განისაზღვრება გარემოს სიმკვრივითა და \(B\) ყოველმხრივი შეკუმშვის მოდულით, რომელიც წნევის ცვლილებასა და ფარდობით მოცულობას შორის პროპორციულობის კოეფიციენტის (საწინააღმდეგო ნიშნით აღებული) ტოლია:
\(\Delta p=-B\frac{\Delta V}{V}.\)
უსასრულო გარემოში განივი ტალღის გავრცელაების სიჩქარის გამოსახულებას აქვს სახე:
\(v=\sqrt{\frac{B}{\rho}}.\)
მაგალითად, 20 °С ტემპერატურაზე განივი ტალღის გავრცელაების სიჩქარე წყალში υ ≈ 1480 მ/წმ, სხვადასხვა ხარისხის ფოლადში კი υ ≈ 5–6 კმ/წმ.
განივი ტალღის დრეკად ძელში გავრცელებისას ყოველმხრივი შეკუმშვის მოდულის ნაცვლად შედის იუნგის მოდული \(E\) ( იხ. პარაგრაფი 1,12):
\(v=\sqrt{\frac{E}{\rho}}.\)
ფოლადისათვის განსხვავება \(E\) და \(B\) -ს შორის დიდი არ არის. სხვა მასალებისთვის კი შეიძლება 20–30 % და მეტიც იყოს.
თუ მექანიკური ტალღა, გარემოში გავრცელებისას ხვდება რაიმე წიმააღმდეგობას, მას შეუძლია მკვეთრად შცვალის თავისი ყოფაქცევა. მაგალითად, ორი გამსხვავებული მექანიკური თვისებების მქონე გარემოს საზღვარზე ტალღა ნაწილობრივ აირეკლება და ნაწილობრი შეაღწევს მეორე გარემოში. რეზინის ზონარზე მორბენალი ტალღა აირეკლება უძრავად დამაგრებული ბოლოდან; ამ დროს წარმოიქმვბა საწიმააღმდეგოდ მორბენალი ტალღა. ორივე ბოლოთი დამაგრებულ სიმში აღიძვრება რთული რხევები, რომლებიც შეიძლება ორი ურთიერთსაწიააღმდეგოდ გავრცელებული ტალღის ზედდებად (სუპერპოზიციად) განვიხილიდ, რომლებიც არეკვლას და არეკლილის ისევ არეკვლას განიცდის. ორივე ბოლოთი დამაგრებულ სიმში აღძრული რხევები წარმოქმნიან ყველა სიმიანი ინსტრუმენტის ჟღერადობას. ძალიან მსგავს მოვლენას აქვს ადგილო სასულე ინსტრუმენტებში, მათ შორის ორღანშიც.
თუ სიმში შემხვედრი მიმართულებით მორბენალი ტალღები სინუსოიდური ფორმისაა, მაშინ გარკვეულ პირობებში შეიძლება წარმოიქმნას მდგარი ტალღები.
ვთქვათ \(l\) სიგრძის სიმი ისეა დამაგრებული, რომ ერთერთი მისი ბოლო \(x=0\) წერტილშია, მეორე კი – \(x_{1}=L\) წერტილში (ნახ. .5). სიმში შექმნილია \(T\) დაჭიმულობა.
ნახ.5.
სიმში მდგარი ტალღის წარმოქმნა.
მაშინ სიმში ერთდროულად ვრცელდება ერთიდაიგივე სიხშირის ურთიერთსაწინააღმდეგო ტალღა:
- \(y_{1}(x,t)=A\cos(\omega t+kx)\) – მარჯვნიდან მარცხნივ მორბენალი ტალღა;
- \(y_{2}(x,t)=-A\cos(\omega t-kx)\) – მარცხნიდან მარჯვნივ მორბენალი ტალღა.
\(x=0\) წერტილში დაცემული ტალღა \(y_{1}\) არეკვლის შედეგად წარმოქმნის \(y_{2}\) ტალღას. უძრავად დამაგრებულ ბოლოზე არეკლილი ტალღა საწინააღმდეგო ფაზაშია დაცემულის მიმართ. სუპერპოზიციის პრინციპის თანახმად, რა ექსპერიმენტულ ფაქტს წარლოადგენს, შემხვედრი ტალღებით გამოწვეული რხევა სიმის ყიველ წერტილში იკრიბება.
ე.ი. ჯამური რხევა ყოველ წერტილში ტოლია \(y_{1}\) და \(y_{2}\) ცალცალკე გამოწვეული რხევების ჯამისა.
\(y=y_{1}(x,t)+y_{2}(x,t)=(-2A\sin \omega t)\sin kx\) .
სწორედ ესაა მდგარი ტალღა. მდგარ ტალღაში არსებობს უძრავი წერტილები რომლებსაც კვანძებს უწოდებენ. კვანძებს შორის არის წერტილები რომლებიც მაქსიმალური ამპლიტუდით ირხევიან.
ორივე უძრავი ბოლო კვანძს უნდა წარმოადგენდეს. ზემოთ მოყვანილი ფორმულა ამ პირობას მარცხენა (\(x=0\) ) ბოლო აკმაყოფილებს. ამ პირობის მარჯვენა (\(x=L\) ) ბოლოზეც შესრულებისთვის აუცილებელია \(kL=n\pi\) , სადაც \(n\) – ნებისმიერი მთელი რიცხვია. ეს ნიშნავს, რომ სიმზე მდგარი ტალღა ყოველთვის არ აღიძვრება. იგი აღიძვრება მხოლოდ მაშინ თუ სიმის \(L\) სიგრძე ტალღის სიგრძის ჯერეადია:
\(l=n\frac{\lambda_{n}}{2}\) ან \(\lambda_{n}=\frac{2l}{n}\: (n=1,2,3,...)\)
\(\lambda_{n}\) ტალღის სიგრძეთა მნიშვნელობები შეესაბამება \(f_{n}\) სიხშირეების შესაძლო მნიშვნელეობებს:
\(f_{n}=\frac{v}{\lambda_{n}}=n\frac{v}{2l}=nf_{1},\)
სადაც \(v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}\) – განივი ტალღების სიმის გასწვრივ გავრცელების სიჩქარეა. ყოველი \(f_{n}\) სიხშირეს და მასთან დაკავშირებული რხევის ტიპს ნორმალურ მოდას უწოდებენ. უმცირეს \(f_{1}\) სიხშირეს ძირითად სიხშირეს უწოდებენ, ყველა დანარჩენს (f2, f3, …) ჰარმონიკებს უწოდებენ. ნახ. 5 -ზე \(n=2\) ნორმალური მოდაა გამოსახული.
მდგარ ტალღაში არაა ენერგიის ნაკადი. სიმის მონაკვეთებში მოქცეული ენერგიის ტრანსპორტირება (გადატანა) არ ხდება სიმის სხვა ნაწილებში. ყოველ ასეთ მონაკვეთში ხდება პერიოდული (ორჯერ \(T\) პერიოდის განმავლობაში) გარდაქმნა კინეტიკური ენერგიის პოტენციურ ენერგიად და პირიქით, როგორც ჩვეულებრივ რხევით სისტემაში. მაგრამ ტვირთიანი ზამბარისა და მათემატიკური ქანქარასგან განსხვავებით, რომლებსაც აქვთ ერთადერთი საკუთარი \(f_{0}=\frac{\omega_{0}}{2\pi},\) სიხშირე, სიმს საკუთარი სიხშირეების \(f_{n}\) უსასრულო რაორენობა აქვს. ნახ.6-ზე ორმხრივად დამაგრებული სიმში მდგარი ტალღის რამოდენიმე ტიპია მოცემული.
ნახ. 6.
ორმხრივად დამაგრებული სიმში მდგარი ტალღის პირველი ხუთი ნორმალური მოდა.
სუპერპოზიციის პრინციპის თანახმად სხვადასხვა ტიპის მდგარი ტალღები (ე.ი \(n\) -ის სხვადასხვა მნიშვნელობით) შეიძლება ერთდროულად არსებობდეს მერხევ სიმში.