მოამზადეს: ეკატერინე გურგენაშვილმა და სალომე ბაღაშვილმა

1. ​სიმძიმის ძალა და წონა

თუ რაიმე სიმაღლეზე ატანილ სხეულს ხელს გავუშვებთ, იგი დაიწყებს ვარდნას დედამიწაზე გარკვეული აჩქარებით, რადგან ამ სხეულზე მოქმედებს ქვემოთ მომართული სიმძიმის ძალა, რაც გამოწვეულია დედამიწის მიერ სხეულის მიზიდვით.  დედამიწის გავლენით სხეულის ვარდნას თავისუფალი ვარდნა ქვია. სიმძიმის ძალა კი იწვევს თავისუფალი ვარდნის აჩქარებას.

ნიუტონის მეორე კანონის თანახმად F=mg. ანუ სიმძიმის ძალა რაღაც  m მასის სხეულს ანიჭებს g აჩქარებას. დედამიწის მიმართ უძრავ ან წრფივად და თანაბრად მოძრავი სხეულის შემთხვევაში F ძალა ტოლია P წონის, ამიტომ შეგვიძლია ასეც ჩავწეროთ P=mg. წონა არის დედამიწის მიზიდულობით გამოწვეული ძალა, რომლითაც სხეული მოქმედებს ჰორიზონტალურ საყრდენზე ან საკიდზე.

სიმძიმის ძალა მსოფლიო მიზიდულობის ძალის ერთ-ერთი გამოვლენაა. თუ დედამიწის მასას ავღნიშნავთ M-ით, რადიუსი r და დედამიწაზე დაცემული სხეულის მასა m, მაშინ დედამიწის ზედაპირის მახლობლად სხეულზე მოქმედი ძალის სიდიდე იქნება:

ეს არის დედამიწის ცენტრისკენ მომართული სიმძიმის ძალა.

თავისუფალი ვარდნის აჩქარება

დედამიწის ყოველ მოცემულ წერტილში g-ს სიდიდე ფორმულით გამოთვლილი a_g-ს სიდიდისგან განსხვავებულია. ამას სამი მიზეზი აქვს: 1) დედამიწის მასა თანაბრად არ არის განაწილებული; 2) დედამიწა არ არის სრულყოფილი სფერო; 3) დედამიწა ბრუნავს. უფრო მეტიც, რაკი g a_g-სგან განსხვავდება, იმავე სამი მიზეზის გამო ნაწილაკის mg წონა  ფორმულით გამოთვლილი გრავიტაციული ძალისგან განსხვავდება.

1. დედამიწის მასა თანაბრად არ არის განაწილებული.  დედამიწის სიმკვრივე რადიუსის გასწვრივ იცვლება, ამათან, დედამიწის ქერქის სიმკვრივე ზედაპირის სხვადასხვა რეგიონებში სხვადასხვაა. მაშასადამე, დედამიწის ზედაპირის ყოველ რეგიონს თავისი g აქვს.

2. დედამიწა არ არის სფერო. დედამიწა ელიფსოიდია, რომელიც პოლუსებთან ბრტყელდება, ხოლო ეკვატორთან იბურცება. მისი ეკვატორული რადიუსი პოლარულ რადიუსზე 21 კმ-ით მეტია. მაშასადამე, პოლუსზე მდებარე ნაწილაკი დედამიწის მკვრივ ბირთვთან უფრო ახლოა, ვიდრე ეკვატორზე მდებარე წერტილი. ეს არის ერთ-ერთი მიზეზი, რის გამოც თავისუფალი ვარდნის g აჩქარება ეკვატორიდან პოლუსისკენ გადაადგილებისას იზრდება.

3. დედამიწა ბრუნავს. ბრუნვის ღერძი დედამიწის ჩრდილოეთ და სამხრეთ პოლუსებზე გადის. დედამიწის ზედაპირზე (გარდა პოლუსებისა) მდებარე საგანი ამავე ღერძის გარშემო მოძრაობს და, მაშასადამე, ცენტრისკენ მიმართული აჩქარება უნდა ჰქონდეს. ეს ცენტრისკენული აჩქარება ასევე ცენტრისკენ მიმართული ძალის არსებობას გულისხმობს.

a_g-ს ცვლილება სიმაღლის მიხედვით

სიმაღლე (კმ)	ag(მ/წმ2)	მაგალითები
0	9,83	დედამიწის ზედაპირი
8,8	9,80	ევერესტი
36,6	9,71	ყველაზე მაღლა ასული საჰაერო ბურტი
400	8,70	კოსმოსური ხომალდის ორბიტა
35700	0.225	საკომუნიკაციო თანამგზავრი

 

ხშირად ერთმანეთისგან განასხვავებენ ორ წონას: ნამდვილს და მოჩვენებითს. ნამდვილი წონა არის ძალა, რომლითაც დედამიწა იზიდავს სხეულს, ხოლო მოჩვენებითი წონა არის ვარდნის აჩქარების გამომწვევი ძალა. P წონა როგორც სიდიდით, ასევე მიმართულებით განსხვავდება მიზიდულობის ძალისგან და სწორედ მის გასწვრივ ხდება ნაწილაკის ვარდნა. წონის ერთეული GSS სისტემაში არის დინი, და MKS სისტემაში ნიუტონი. თუმცა პრაქტიკაში გამოიყენება კილოგრამი.

 

2.  ნიუტონის მიზიდულობის კანონი

 

1967 წელს ნიუტონმა გამოთქვა მოსაზრება, რომ ყველა სხეულს შორის მოქმედებს ურთიერთმიზიდვის ძალები, რასაც მსოფლიო მიზიდულობის ძალები უწოდა. მან ივარაუდა რომ სიმძიმის ძალა უნდა მოქმედებდეს არამარტო დედამიწასთან ახლოს მდებარე სხეულებზე, არამედ კოსმოსში მდებარე სხეულებზეც. დედამიწამ უნდა მიიზიდოს მთვარე, პლანეტები და ა.შ. მიზიდულობის ძალა რომლითაც დედამიწა მოქმედებს მთვარეზე, წარმოადგენს ცენტრისკენულ ძალას, რომელიც იწვევს მთვარის ბრუნვას ჩაკეტილ ორბიტაზე. ასევე სხვა პლანეტებსაც ყავთ თანამგზავრები, და მზეც იზიდავს პლანეტებს. ამიტომ ნიუტონმა დაასკვნა რომ მიზიდულობის ძალა არსებობს ნებისმიერ სხეულს შორის და ეს ძალები ყოველთვის ერთნაირი ბუნებისაა. სხეულებს შორის მიზიდულობის ძალის სიდიდე დამოკიდებულია ორივე სხეულის მასაზე და საგრძნობ მნიშვნელობას მაშინ აღწევს, როცა ურთიერთქმედი სხეულების მასა საკმაოდ დიდია.

რადგან სხეულები ურთიერთმიიზიდებიან, ძალა ორივე ურთიერთმქმედი სხეულების მასის  პროპორციულია. დედამიწა სხეულს იზიდავს ძალით, რომელიც პროპორციულია ამ სხეულის მასის. თავის მხრივ სხეულიც იზიდავს დედამიწას, ძალით რომელიც დედამიწის მასის პროპორციულია. ნიუტონის მესამე კანონის თანახმად რა ძალითაც დედამიწა იზიდავს სხეულს, იმ ძალით იზიდავს სხეულიც დედამიწას (F=-F), ამიტომ მათ ურთიერთმიზიდულობის ძალა პროპორციული იქნება ორივე მათგანის მასის ნამრავლისა.

 ნიუტონმა ივარაუდა რომ მიზიდულობის ძალა დამოკიდებული უნდა იყოს სხეულებს შორის მანძილზეც. მთვარეს ცენტრისკენულ აჩქარებას ანიჭებს დედამიწის მიზიდულობის ძალა, რომელიც დამოკიდებული რომ არ იყოს მათ შორის მანძილზე, მაშინ მთვარის აჩქარება სხეულის ვარდნის აჩქარების ტოლი იქნებოდა. მანძილი დედამიწიდან მთვარემდე 60 დედამიწის რადიუსის ტოლია. ამრიგად ურთიერთმიმზიდველ სხეულებს შორის მანძილის 60-ჯერ გაზრდა იწვევს აჩქარების 60²-ჯერ შემცირებას. ანუ, მსოფლიო მიზიდულობის ძალა და მისი საშუალებით გამოწვეული აჩქარება ურთიერთქმედ სხეულთა შორის მანძილის კვადრატის უკუპროპორციულია.

ყველა ამ დაკვირვების საფუძველზე ნიუტონმა ჩამოაყალიბა მიზიდულობის კანონი, რომელიც მოქმედებს ბუნებაში არსებულ ყველა სხეულზე და ნაწილაკზე: ყოველი ორი სხეული ერთმანეთს მიიზიდავს ძალით, რომელიც მათი მასების ნამრავლის პირდაპირპროპორციულია და მათ შორის მანძილის კვადრატის უკუპროპორციულია, და მიმართულია ამ ნაწილაკების შემაერთებელი წრფის გასწვრივ.

სადაც \(\gamma\) გრავიტაციული მიდმივაა.

გრავიტაციული მუდმივა: თუ ორივე სხეულის მასას ავიღებთ 1 კგ-ის ტოლად, და მანძილს 1 მ-ის ტოლად, მაშინ ძალა რიცხობრივად გრავიტციული მუდმივის ტოლი იქნება

მისი ერთეულია

 

 

3. გრავიტაციული და ინერტული მასები

 

ინერტული მასა ახასიათებს სხეულის ინერციულობას, ანუ მის თვისებას მეტად თუ ნაკლებად შეიცვალონ სიჩქარე მათზე გარეშე სხეულების მოქმედების შედეგად. სხეულის მასა მით უფრო მეტია, რაც უფრო ნაკლებად იცვლის სიჩქარეს გარეშე ძალის მოქმედების შედეგად. მაშასადამე ინერტული მასა სხეულის სრულიად გარკვეული თვისების დამახასიათებელია - სხეულის მასა მით უფრო მეტია, რაც უფრო ნაკლებად იცვლის იგი სიჩქარეს გარეშე ძალის მოქმედების გავლენით.

 მსოფლიო მიზიდულობა, ანუ გრავიტაციული ურთიერთქმედება არავითარ კავშირში არაა ინერციულობასთან. იგი სხეულების  სულ სხვა თვისების გამოხატავს. ის გვიჩვენებს როგორი ძალით იზიდავს ერთი სხეული მეორეს ან როგორი ძალით მიიზიდება ამ მეორე სხეულის მიერ. ამიტომაც გრავიტაციული ურთიერთქმედების დამახასიათებელი სიდიდე, რომელსაც ჩვენ გრავიტაციული მასა ვუწოდეთ, შეიძლება არ იყოს იგივე, რაც სხეულის ინერტული მასა. იგი უნდა გვიხასიათებდეს სხეულის თვისებას მიიზიდოს სხვა სხეულები ან მიზიდულ იქნას სხვა სხეუულების მიერ. მაშასადამე თავისთავად არსაიდან არ გამომდინარეობს, რომ გრავიტაციული და ინერტული მასები ერთი და იგივეა. ცდების საშუალებით შეიძლება გაირკვეს მათ შორის კავშირი.

ვთქვათ A სხეულის გრავიტაციული მასაა \(\mu _{A}\). B,  C და ა.შ. სხეულების გრავიტაციული და ინერტული მასები იყოს \(\mu _{B}\) და m_g, \(\mu _{C}\),  და m_C და ა.შ. მაშინ ძალები რომლითაც A სხეული მოქმედებს B, C და ა.შ სხეულებზე იქნება

  და ა.შ

 

სადაც r არის მანძილი B, C და ა.შ სხეულებიდან A სხეულამდე. როგორც ვხედავთ ძალები დამოკიდებულია, B, C და ა.შ. სხეულების გრავიტაციულ მასებზე. მაგრამ თუ ვიცით, რა ძალები მოქმედებენ სხეულებზე, შეიძლება გამოვთვალოთ სათანადო აჩქარებები. ამისთვის ძალები უნდა გავყოთ სათანადო ინერტულ მასებზე:

 , ...

ზემოთმოყვანილი თვისებების შედეგად ყველა სხეული ერთსა და იმავე აჩქარებას ღებულობს:  

საიდანად ვღებულობთ

   ე. ი.   

 

მივიღეთ რომ გრავიტაციული და ინერტული მასების შეაფრდება ყველა სხეულისათვის ერთი და იგივეა - გრავიტაციული მასა ინერტული მასის პროპორციულია. შებრუნებულად, თუ გრავიტაციული მასა ინერტული მასის პროპორციულია ყველა სხეულს ერთი და იგივე აჩქარება ექნება.

გრავიტაციულ და ინერტულ მასათა შორის პროპორციულობის კოეფიციენტი უნივერსალური მუდმივაა, იგი არ არის დამოკიდებული არც სხეულის მასაზე, არც მის გვარობასა და შემადგენლობაზე. მისი რიცხვითი მნიშვნელობა მხოლოდ გრავიტაციული და ინერტული მასების ერთეულების შერჩევაზე იქნება დამოკიდებული. ინერტული მასის ერთეული ჩვენ უკვე არჩეული გვაქვს - გრამი. გრავიტაციული მასის ეტალონად შეგვიძლია ნებისმიერი სხეული ავირჩიოთ. თუმცა ყველაზე ხერსაყრელია ინერტული მასის ეტალონის არჩევა, ე.ი. მივიღოთ, რომ ერთეულოვანი გრავიტაციული მასა აქვს ერთეულოვანი ინერტული მასის მქონე სხეულს. ასეთი არჩევის შემდეგ გრავიტაციული მასა ინერტული მასის ტოლი გახდება და შეიძლება ყველა სხეულისთვის მივიღოთ . ჩვენ სწორედ ასე ვიქცევით და ვთვლით რომ გრავიტაციული მასა ინერტული მასის ტოლია.

 

 

 

4.  მიზიდულობა დედამიწის შიგნით

 

ნიუტონის თეორემა სფერული გარსის შესახებ იმ შემთხვევაშიც გამოიყენება, როდესაც ნაწილაკი ერთგვაროვანი გარსის შიგნით მდებარეობს:

ერთგვაროვანი სფერული გარსის შიგნით მოთავსებულ ნაწილაკზე მოქმედი გრავიტაციული ძალების ტოლქმედი ნულის ტოლია.

თუმცა ეს არ ნიშნავს, რომ სფერული გარსის სხვადასხვა ნაწილებიდან ნაწილაკზე მოქმედი გრავიტაციული ძალები ჯადოსნურად გაქრა, უბრალოდ, ყველა ნაწილიდან ამ ნაწილაკზე მოქმედი ძალების ვექტორების ჯამი ნულის ტოლია.

დედამიწის მასა რომ თანაბრად ყოფილიყო განაწილებული, ნაწილაკზე მოქმედი გრავიტაციული ძალა დედამიწის ზედაპირზე მაქსიმალური იქნებოდა და დედამიწიდან დაშორების შედეგად შემცირდებოდა. ნაწილაკის დედამიწის სიღრმეში, მაგალითად მაღაროში ჩასვლისას სრული გრავიტაციული ძალა ორი მიზეზით შეიცვლებოდა: 1) ნაწილაკის დედამიწის ცენტრთან მიახლოვების შედეგად მიზიდულობის ძალა გაიზრდებოდა; 2) ნაწილაკის დედამიწის ცენტრისკენ გადაადგილებისას დედამიწის იმ სფერული გარსის სისქე, რომლის გრავიტაციული ზემოქმედება ნაწილაკზე ნულის ტოლი იქნებოდა, გაიზრდებოდა, რის შედეგადაც ნაწილაკზე მოქმედი სრული გრავიტაციული ძალა შემცირდებოდა. ერთგვაროვანი დედამიწისთვის მეორე ტენდენცია იმძლავრებდა და წერტილზე მოქმედი ძალა დედამიწის ცენტრთან მიახლოების შედეგად ნულამდე შემცირდებოდა. ასეა თუ ისე, რეალური (არაერთგვაროვანი) დედამიწის შემთხვევაში, ნაწილაკზე მოქმედი ძალა დედამიწის ცენტრისკენ მოძრაობისას ჯერ იზრდება, გარკვეულ სიღრმეზე მაქსიმუმს აღწევს და შემდეგ თანდათან მცირდება.

 

5.  მიზიდულობის პოტენციური ენერგია

განვიხილოთ r მანძილით დაშორებული m და M მასის წერტილების U მიზიდულობის პოტენციურ ენერგია. თავდაპირველად ვირჩევთ ისეთ საწყის კონფიგურაციას, როდესაც U ნულის ტოლია. გარდა ამისა, ფორმულების გასამარტივებლად საწყის კონფიგურაციაში r მანძილი იმდენად დიდია, რომ შეგვიძლია ჩავთვალოთ როგორც უსასრულოსთან მიახლოვებული. მანძილის შემცირებასთან ერთად გრავიტაციული პოტენციური ენერგია მცირდება. ვინაიდან r=∞-სთვის U=0, ამიტომ ნებისმიერი სასრული მანძილისთვის პოტენციური ენერგია უარყოფითია და მანძილის შემცირებასთან ერთად კიდევ უფრო უარყოფითი ხდება. ამ ფაქტების მხედველობაში მიღებით ორი სხეულისგან შემდგარი სისტემისთვის გრავიტაციული პოტენციური ენერგია იქნება:

            

უნდა გავითვალისწინოთ, რომ როცა r უსასრულობას უახლოვდება, U(r) ნულს უახლოვდება, და r-ის ნებისმიერი სასრული სიდიდისთვის U(r)-ის სიდიდე უარყოფითია.

 ფორმულით მოცემული პოტენციური ენერგია ორი სხეულის სისტემის მახასიათებელია და არა ცალ-ცალკე სხეულებისა. ამ ენერგიას ვერ გავყოფთ და ერთ ნაწილს პირველ, მეორეს კი მეორე სხეულს ვერ მივაკუთვნებთ. მიუხედავად ამისა, თუ    M >> m, რაც სიმართლეა M მასის დედამიწისა და m მასის ბეისბოლის ბურთისთვის, მაშინ ვსაუბრობთ ‘ბეისბოლის ბურთის პოტენციურ ენერგიაზე’. ამ გამოთქმამ შეცდომაში შეიძლება შეგვიყვანოს, ვინაიდან, როდესაც ბეისბოლის ბურთი დედამიწის მახლობლად მოძრაობს, ბურთი-დედამიწის სისტემის პოტენციური ენერგიის ცვლილება თითქმის მთლიანად ბეისბოლის ბურთის კინეტიკური ენერგიის ცვლილებაში გამოიხატება, რადგან დედამიწის კინეტიკური ენერგიის ცვლილება მეტად მცირეა.

როდესაც სადარი მასების სხეულების პოტენციურ ენერგიაზე ვსაუბრობთ, ამ სხეულების სისტემას ყურადღებით უნდა მოვეპყროთ.

როდესაც სისტემა ორზე მეტ სხეულს შეიცავს, სხეულთა წყვილებს რიგრიგობით განვიხილავთ.  ფორმულით მათ გრავიტაციულ პოტენციურ ენერგიას ისე გამოვთვლით, თითქოს სხვა სხეულები არც არსებობს, შემდეგ კი შედეგებს ალგებრულად შევკრებთ. მაგალითად, სურათზე გამოსახული სამი წყვილისთვის ფორმულის მისადაგება მოგვცემს:

                       

 

6. გაქცევის სიჩქარე

თუ სხეულს ზევით აისვრი, ის შენელდება, მეყსეულად გაჩერდება და შემდეგ დედამიწაზე დაბრუნდება. მიუხედავად ამისა, არსებობს მინიმალური საწყისი სიჩქარე, რომლითაც ეს სხეული მუდმივად ზევით იმოძრავებს და, თეორიულად, მხოლოდ სადღაც უსასრულობაში გაჩერდება. ამ მინიმალურ სიჩქარეს (დედამიწიდან) გაქცევის სიჩქარე ეწოდება. განვიხილოთ m მასის სხეული, რომელიც პლანეტის (სხვა ასტრონომიული სხეულის ან სისტემის) ზედაპირს v გაქცევის სიჩქარით შორდება. სხეულის ენერგიაა  , ხოლო U პოტენციური ენერგია მოცემულია ფორმულით:  სადაც M პლანეტის მასაა, ხოლო R - პლანეტის რადიუსი. როდესაც სხეული უსასრულობას მიაღწევს, ის შეჩერდება, ანუ ამ დროს მისი კინეტიკური ენერგია ნულის ტოლი გახდება. სხეულს არც პოტენციური ენერგია ექნება, ვინაიდან ორ სხეულს შორის უსასრულო დაშორება ნულოვანი პოტენციური ენერგიის მიზეზი ხდება. სხეულის მთლიანი ენერგია უსასრულობაში ნულის ტოლია. ენერგიის მუდმივობის კანონის თანახმად, სხეულის მთლიანი ენერგია პლანეტის ზედაპირზეც ნულის ტოლი უნდა იყოს:

 საიდანაც გამომდინარეობს:

             

ვითვალისწინებთ, რომ v დედამიწიდან გასროლის მიმართულებაზე დამოკიდებული არ არის. თუმცა, ამ სიჩქარის მიღწევა უფრო ადვილია, როცა გასროლის მიმართულება ღერძის გარშემო დედამიწის ბრუნვის მიმართულებას ემთხვევა.

 ფორმულა ნებისმიერი ასტრონომიული სხეულიდან გასროლილი სხეულის გაქცევის სიჩქარის გამოსათვლელად გამოიყენება, სადაც M არის ასტრონომიული სხეულის მასა, ხოლო R - მისი რადიუსი.